А. Бурдонский родился в Самаре (быв. Куйбышев) в 1941-ом, когда в этот город перебралось все руководство СССР и де-факто превратило его в столицу СССР. Как полагалось в семье военного, отец Александра Василий Сталин отдал старшего сына в Калининское училище. Но после него внук Сталина поступил в ГИТИС, причем, чтобы дистанцироваться от опальной на то время родни он взял фамилию матери – Галины Бурдонской.
За свою творческую карьеру Александр Васильевич сыграл массу ролей преимущественно в Центральном театре Советской Армии, а также преподавал в родном ГИТИСе. В 1996 году ему присвоили звание народного артиста.
Он был бездетным вдовцом. Кстати, А. Бурдонский - единственный из потомков Сталина, кто опубликовал результаты исследования своей ДНК.